Milyonlarca kişi geçtiğimiz günlerde FIFA Dünya Kupası Finali'nin heyecanından yeni yeni kurtulurken, matematik camiasında bambaşka bir heyecan dalgası yükseliyordu.
Yapay zeka şirketi Anthropic'te çalışan matematikçi Levent Alpöge, X hesabından oldukça sıradan bir duyuru yaparak Jacobian sanısına bir karşı örnek bulduğunu açıkladı. Jacobian sanısı, cebirsel geometri alanında çok eski ve bilinen bir problem. Alpöge bu keşfi, yalnızca birkaç hafta önce halka sunulan Anthropic'in büyük dil modeli Claude Fable 5'i kullanarak gerçekleştirdi.
Bu, büyük dil modelleriyle çalışan matematikçilerin elde ettiği son çarpıcı başarılardan sadece biri. Ancak bu keşif, öncekilerden biraz farklı bir nitelik taşıyor.
Jacobian Sanısı Nedir?
Öncelikle, sanı (conjecture) nedir? Bu, bazı matematikçilerin doğru olduğuna inandığı ancak kimsenin kanıtlayamadığı ya da çürütemediği bir fikirdir.
Şimdi Jacobian sanısına gelelim. Oldukça soyut ama anlatması çok da zor değil.
Sanı, fonksiyonlarla ilgilidir. Fonksiyonlar, içine bir veya daha fazla sayı koyduğunuzda belirli bir kural veya denkleme göre dışarı başka sayılar çıkaran küçük makineler gibidir. Bu durumda, fonksiyonlar polinom adı verilen yapıları kullanır.
Spesifik olarak, sayıların bir uzaydaki noktaları temsil ettiği durumlarla ilgileniriz; tıpkı bir haritadaki koordinatlar gibi. Yani fonksiyon bazı sayıları alıp başka sayılar çıkardığında, aslında uzaydaki noktaları hareket ettirdiğini düşünebiliriz.
Bir fonksiyonun uzaydaki her şeyi ne kadar "düzgün" hareket ettirdiğini, Jacobian determinantı adı verilen bir şeyi hesaplayarak test edebilirsiniz. Jacobian determinantı her zaman sıfır olmayan sabit bir sayıysa, fonksiyon uzayı belirli bir nokta etrafında asla katlamaz veya ezmez.
Jacobian sanısı şunu söyler: Jacobian determinantı sıfır olmayan bir sabit olduğunda, orijinal fonksiyonu tersine çeviren, yine polinomlardan oluşan başka bir fonksiyon her zaman var olmalıdır. Bu ikinci fonksiyon, tüm noktaları başlangıç konumlarına geri döndürecektir.
Her fonksiyon tersine çevrilebilir değildir. Örneğin, başlangıçtaki fonksiyon iki farklı noktayı tek bir noktaya taşıyorsa, bunu tersine çeviremeyiz. Noktalar birleştikten sonra, onları doğru konumlarına geri göndermek için birbirinden ayırt edemeyiz.
Uzun Bir Geçmiş ve Başarısızlıklar
Jacobian sanısının iki boyutlu versiyonu, 1884 yılında Çek matematikçi Ludwig Kraus tarafından ortaya atıldı. Alman matematikçi Ott-Heinrich Keller ise 1939'da bunu herhangi bir boyut sayısına genelleştirdi.
Sanı o kadar ilgi çekiciydi ki, Fields Madalyası sahibi Stephen Smale onu 1998'de hazırladığı "Gelecek Yüzyıl İçin Matematik Problemleri" listesine dahil etti.
Uzun tarihi boyunca Jacobian sanısı, Beniamino Segre ve Wolfgang Gröbner gibi 20. yüzyılın iki ünlü matematikçisi de dahil olmak üzere birçok kişi tarafından kanıtlanmaya çalışıldı. Ancak her seferinde, argümanları geçersiz kılan ince hatalar bulundu.
Buna rağmen, sanının çeşitli kısıtlamalar altında doğru olduğunu gösteren geçerli çalışmalar da yapıldı. Hesaplamalı sonuçlar, 100. dereceye kadar olan polinomlar için (yani değişkenlerin 100'e kadar olan kuvvetlerini içeren) iki boyutta sanının doğru olduğunu gösterdi.
Ancak kimse genel durumu kanıtlayamadı ya da sanının yanlış olduğunu gösteren bir örnek bulamadı.
Yanıltıcı Derecede Basit Bir Cevap
Jacobian sanısının bu kadar ilgi çekici olmasının temel nedenlerinden biri, teoride bir karşı örnek bulmanın kolay olması gerektiğidir. Noktaları birleştiren fonksiyon örnekleri bulmak da, sabit bir Jacobian determinantına sahip polinom eşlemeleri bulmak da kolaydır.
Ancak asıl zorluk, her iki özelliğe de sahip bir polinom eşlemesi bulmaktır. Nitekim bir Math Stack Exchange kullanıcısının 2017'deki bir gönderide belirttiği gibi, "bildiğimiz kadarıyla, zeki bir lisans öğrencisi bu sanıya karşı örnek olacak bir formül yazıp çıkabilir."
Nitekim Alpöge'nin fonksiyonu için de durum aynen böyle oldu. Fonksiyon, tek bir X gönderisine sığacak kadar kısa. Alpöge, üç boyutta, -2 sabit Jacobian determinantına sahip ve birden fazla girdi noktasını aynı çıktı noktasına taşıdığı için tersine çevrilemeyen bir fonksiyon örneği buldu.
Bu keşif, sanının 2'den büyük her boyut için yanlış olduğunu gösteriyor. İki boyuttaki orijinal sanı ise hâlâ çözülememiş durumda. Karşı örneğin kısalığı, diğer matematikçilerin onu doğrulamasını kolaylaştırdı.
Büyüyen Bir Serideki En Son Gelişme
Alpöge'nin keşfi, büyük dil modellerinin elde ettiği bir dizi yüksek profilli matematiksel başarının en sonuncusu. Yakın zamandaki örnekler arasında OpenAI'in birim mesafe sanısını çürütmesi ve 23 yaşındaki amatör matematikçi Liam Price'ın Erdős'ün 1196 numaralı problemini kanıtlaması yer alıyor.
Her iki örnek de yapay zeka modellerinin en çarpıcı güçlü yönlerinden birini gözler önüne seriyor: Farklı matematik alanlarından fikirleri alıp bunları yeni bir şekilde birleştirerek şaşırtıcı sonuçlar üretebiliyorlar.
Bu yazı hazırlanırken, Alpöge'nin AI modelini Jacobian sanısı karşı örneğini üretmesi için tam olarak nasıl yönlendirdiği ve modelin çıktısının neye benzediği henüz kamuoyuyla paylaşılmamıştı. Ancak şu ana kadar bu sonuç, farklı bir nitelikte görünüyor.
Yakın zamandaki diğer birçok AI destekli atılımın aksine, karşı örneğin kendisi son derece basit. Onu bulmadaki zorluk, karmaşık bir yapı veya uzun bir kanıttan değil, doğru özelliklere sahip birini bulmak için olası polinom eşlemelerinden oluşan devasa bir arama uzayında gezinmenin iyi bir yolunu bulmaktan kaynaklanıyor gibi görünüyor.
Bu durum, AI'nın kanıt oluşturmada olduğu kadar beklenmedik matematiksel nesneleri keşfetmede de değerli olabileceğini gösteriyor. Bunun matematiğin ve insan matematikçilerin geleceği için ne anlama geldiği ise henüz bilinmiyor.
